[CF708E]Student's Camp

Description

$$
1 \le n, m \le 1500, 1 \le k \le 10 ^5
$$

答案对 $10 ^9 + 7$ 取模。

Solution

首先容易知道最终每行剩下来的砖块一定是一个连续区间,并且问题相当于是问这 $n$ 行砖块中最终所有相邻行的区间交集非空的概率。

设 $p _i = {k \choose i} p ^i (1 - p) ^{k - i}$,表示 $k$ 天中摧毁掉左边/右边连续 $i$ 个方块的概率。易知一行最终剩下的区间为 $[l, r]$ 的概率为 $p _{l - 1} p _{m - r}$。

当然这对于每行均成立。于是考虑 DP,设 $f _{i, l, r}$ 表示前 $i$ 行均满足条件且第 $i$ 行的砖块区间为 $[l, r]$ 的概率。有转移:

$$
f _{i, l, r} = p _{l - 1} p _{m - r} \sum _{[l’, r’] \cap [l, r] \not = \varnothing} f _{i - 1, l’, r’}
$$

初始时 $f _{0, 1, m} = 1$。

如果做前缀和优化并做转移已经可以做到 $O(n ^3)$。仍需更优秀的做法。

观察到这个转移可以转化成全集减去那些与其无交的区间。若记

$$
fr _i = \sum _{j = 1} ^i f _{j, i} \\
fl _i = \sum _{j = i} ^m f _{i, j} \\
Sr _i = \sum _{j = 1} ^i fr _j \\
Sl _i = \sum _{j = i} ^m fl _j
$$

这里默认把第一维滚掉了。

那么

$$
f _{l, r} = p _{l - 1} p _{m - r} (Sr _m - Sr _{l - 1} - Sl _{r + 1})
$$

$$
fr _{i} = \sum _{j = 1} ^i p _{j - 1} p _{m - i} (Sr _m - Sr _{j - 1} - Sl _{i + 1}) \\
fl _{i} = \sum _{j = i} ^m p _{i - 1} p _{m - j} (Sr _m - Sr _{i - 1} - Sl _{j + 1})
$$

预处理然后转移可以做到单次 $O(m)$ 的复杂度。总复杂度 $O(nm)$。

一开始没有把 $p$ 拆开,搞了一晚上……实际上如果能把 $p$ 拆出来直接拿着式子做应该还是比较好做。抽象成图形可能反而不太好做了。

Debug: 对 $fl$ 做后缀和时 for 打的是从 $1$ 到 $m$……

Code

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#include <cstdio>
#include <iostream>

#define Dec(x) (x >= mod ? x -= mod : 0)
#define Inc(x) (x < 0 ? x += mod : 0)

using namespace std;

typedef long long LL;

const int maxN = 1505;
const int maxK = 1e5 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;

int n, m, k, p;
int fac[maxK], ifac[maxK];
int P[maxN], sp[maxN], f[maxN], g[maxN], sf[maxN], sg[maxN], ft[maxN], gt[maxN];

int FPM(int bas, int ind)
{
int res = 1;
while (ind)
{
if (ind & 1)
res = (LL)res * bas % mod;
bas = (LL)bas * bas % mod;
ind >>= 1;
}
return res;
}

inline int C(int _n, int _m)
{
if (_n < 0 or _m < 0 or _n < _m)
return 0;
return (LL)fac[_n] * ifac[_m] % mod * ifac[_n - _m] % mod;
}

int main()
{
freopen("camp.in", "r", stdin);
freopen("camp.out", "w", stdout);
ios::sync_with_stdio(false);
cin >> n >> m;
int a, b;
cin >> a >> b;
p = (LL)a * FPM(b, mod - 2) % mod;
cin >> k;
if (k == 0)
{
cout << 1 << endl;
return 0;
}
fac[0] = ifac[0] = 1;
for (int i = 1; i <= k; ++i)
fac[i] = (LL)fac[i - 1] * i % mod;
ifac[k] = FPM(fac[k], mod - 2);
for (int i = k - 1; i; --i)
ifac[i] = ifac[i + 1] * LL(i + 1) % mod;
for (int i = 0; i <= m; ++i)
{
if (k >= i)
P[i] = (LL)C(k, i) * FPM(p, i) % mod * FPM(mod + 1 - p, k - i) % mod;
sp[i] = P[i];
if (i)
sp[i] += sp[i - 1], Dec(sp[i]);
}
f[m] = sf[m] = 1, ft[m] = P[m];
g[1] = sg[1] = 1;
for (int o = 1; o <= n; ++o)
{
for (int i = 1; i <= m; ++i)
{
f[i] = (LL(sf[m] - sg[i + 1]) * P[m - i] % mod * sp[i - 1] - (LL)P[m - i] * ft[i - 1]) % mod;
Inc(f[i]);
}
for (int i = 1; i <= m; ++i)
{
g[i] = (LL(sf[m] - sf[i - 1]) * P[i - 1] % mod * sp[m - i] - (LL)P[i - 1] * gt[i]) % mod;
Inc(g[i]);
}
for (int i = 1; i <= m; ++i)
{
sf[i] = sf[i - 1] + f[i], Dec(sf[i]);
ft[i] = (ft[i - 1] + (LL)P[i] * sf[i]) % mod;
}
for (int i = m; i; --i)
{
sg[i] = sg[i + 1] + g[i], Dec(sg[i]);
gt[i] = (gt[i + 1] + (LL)P[m - i] * sg[i + 1]) % mod;
}
}
cout << sf[m] << endl;
return 0;
}